USTNA VPRAŠANJA IZ MATEMATIKE šolsko leto 2005/2006


I. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA

1. Naštejte lastnosti operacij v množici naravnih števil.

Primer: Izračunajte na dva načina vrednosti izrazov

2. Opišite vrstni računskih operacij v množici naravnih števil.

Primer : Izračunajte

3. Opišite vrstni računskih operacij v množici celih števil.

Primer : Izračunajte =

4. Zapišite pravilo za kvadrat dvočlenika : ( a+b )2 = , ( a-b )2 =

Primer : ( x + 2)2 , ( y - 5 )2 , ( 3x-5y)2

5. Zapišite pravilo za kub dvočlenika : ( a+b )3 = , ( a-b )3 =

Primer : ( x + 2)3 , ( y - 5 )3 , ( 3x-5y)3

6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2 ? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil ?

Primer : Razstavite izraze : x2 - 25 , 16y2 - 9 , a4 - 16

7. Kako razstavimo vsoto in razliko kubov a3 + b3 = , a3 - b3 ?

Primer : Razstavite izraza : x3 + 8, y3 - 8

8. Kako razcepimo tričlenike z uporabo Vietovega pravila ?

Primer : Razcepite tričlenike : x2 + 7x +12 = , x2 - 4x -21 = , 3x2 - 33x + 84 =

9. Kako razstavljamo štiričlenike ?

Primer : Razstavite štiričlenik : x3 - 5x2 - 4x + 20 =

10. Naštejte nekaj formul, ki jih uporabljamo pri izračunih izrazov .

Primer : Skrčite izraz : ( 2x-5 )2 - ( 3x-4 )( 3x+4 ) + 6x(x+3) =

11. Povejte osnovni izrek o deljenju naravnih števil ! Kaj je večkratnik danega števila ?

Primer : Določi število a, ki ima pri deljenju s 3 količnik 3 in ostanek 2.

12. Definirajte pojem praštevila in kaj sestavljenega števila ? Kam sodi število 1 ?

Primer : Zapišite vsa praštevila do števila 50

13. Naštejte kriterije za deljivost naravnega števila s števili 2,3,4,5,6,9,10,25

Primer : 1. S katerim od zgornjih števil je deljivo število 3960 ?
2. Določi števko a tako, da bo število 23a1a01 deljivo s 3 !

14. Definirajte pojma največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil . Kako poiščemo največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik ? Kdaj sta dve števili tuji si števili?

Primer : Določi D(420,504) , v(420,504)


II. RACIONALNA ŠTEVILA

15. Kaj je ulomek ? Kdaj sta dva ulomka enaka ? Primerjaj dva ulomka ter njuni nasprotni in obratni vrednosti. Ali je to vedno mogoče?
Primer : 1. Okrajšaj ulomek :
2. Primerjaj ulomka in ter njuni nasprotni in obratni vrednosti.

16. Kako seštevamo in odštevamo ulomke ?

Primer :

17. Kako množimo in delimo ulomke ?
Primer : =

18. Kako računamo z ulomki ?
Primer :

19. Kako ulomek spremenimo v decimalno število in kakšna so lahko decimalna števila, ki jih dobimo iz ulomkov ? Kaj so desetiški ulomki in kako jih prepoznamo ?

Primer : 1. Spremeni v decimalno število ulomek ,
2. Spremeni v ulomek decimalni števili 0,312 in

20. Kaj je odstotek ( procent ) ? Kaj je promil ?

Primer : 1. Ceno pralnega stroja so s 84000 SIT znižali za 10%, čez en mesec pa so ceno povišali za 10%. Kolikšna je cena pralnega stroja?

2. Športni copati stanejo po 20% pocenitvi 6480 SIT. Koliko so stali pred pocenitvijo?

III. PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI

21. Opišite pravokotni koordinatni sistem v ravnini, kvadrante, kako predstavimo točke v koordinatnem sistemu in izpelji formulo za izračun razdalje dveh točk v ravnini!

Primer : Izračunajte razdaljo med točkama A(-2,3) in B(1,-1)

22. Kako izračunamo ploščino trikotnika , ki leži v ravnini pravokotnega koordinatnega sistema? Kaj veš o orientaciji trikotnika ?

Primer : Izračunajte ploščino trikotnika z oglišči A(-2,3) , B(1,5), C(4,1)

IV. LINEARNA FUNKCIJA, ENACBA IN NEENAČBA, SISTEM LINEARNIH ENAČB Z DVEMA NEZNAKAMA

23. Definirajte linearno funkcijo. Kakšen je njen graf ? Kako je graf odvisen od posamezni parametrov (konstant) ?

Primer : Zapišite linearno funkcijo za k=2 in je n=3 ter nariši njen graf.


24. Kaj pomeni, če sta smerna koeficienta dveh linearnih funkcij enaka ?

Primer : Napišite enačbo premice, ki poteka skozi točko T(3,2) in je vzporedna premici y = -2x + 3.
25. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki in

Primer: Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točki A(1,2) in B(-3,4) ter nariši njen graf.

26. Napišite implicitno, eksplicitno, odsekovno enačbo premice! Katere premice lahko zapišemo v posameznih oblikah ?

Primer: Napiši enačbo premice, ki gre skozi točk A(0,1) in B(-2,3) v vseh treh oblikah !


27. Kaj je rešitev enačbe ? Kdaj sta dve enačbi ekvivalentni (enakovredni) ? Opiši postopke, ki dano enačbo prevedejo v ekvivalentno enačbo ! Koliko rešitev ima linearna enačba z eno neznanko ?

Primer : Rešite linearno enačbo : a) ( 2x-1 )2 - ( x-3 )( x+3 ) + 3x( 2-x) = 18
b)

28. Kako rešujemo linearne neenačbe z eno neznanko? Kaj so množice rešitev?
Primer : 1. Rešite neenačbo in njeno rešitev grafično ponazorite.
2. Rešite neenačbo in njeno rešitev grafično ponazorite

29. Kako rešujemo sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama ? Kaj pomeni reševanje takega sistema grafično ? Kaj so rešitve in koliko jih je ?

Primer : Rešite sistem linearnih enačb : 2x+y = 6
3x+2y = 8

30. Kako izračunamo presečišče dveh premic?

Primer: Izračunajte presečišče premic in .

V. REALNA ŠTEVILA. POTENCE IN KORENI.

31. Definirajte absolutno vrednost realnega števila in naštejte njene osnovne lastnosti. Kakšen je geometrijski pomen absolutne vrednosti realnega števila ?
Primer: 1. Reši enačbe
2.

32. Definirajte potenco z naravnim eksponentom in naštej pravila za računanje s potencami z naravnimi eksponenti.!

Primer : Izračunaj :

32. Definirajte potenco s celim eksponentom in naštej pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti.!

Primer : Izračunaj :
33. Uporabite pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti na primeru

34. Kolikšna je vrednost potence a0 in kako zapišemo a-1 z ulomkom ?
Primer : Poenostavite izraz
35. Kako izpostavimo skupni faktor pri potencah ? Primer :

36. Zapišite pravila za računanje s koreni . Primer : Izračunaj te =

37. Kaj je racionalizacija ulomka ? Primer : Izračunajte vrednost izraza

38. Definirajte potenco s pozitivno osnovo in racionalnimi eksponenti ter naštej pravila za računanje s takimi potencami !
Primer : Poenostavite : =

39. Kako rešujemo iracionalne enačbe?

Primer: Rešite enačbo:


VI. REALNA FUNKCIJA REALNE SPREMENLJIVKE, POTENČNE FUNKCIJE

40. Definirajte potenčno funkcijo z naravnim (sodim, lihim) eksponentom. Narišite grafa za n=2,3 in navedi njune osnovne lastnosti.

41. Definirajte potenčno funkcijo s celim negativnim (sodim, lihim) eksponentom. Narišite grafa za n= -2,-3 in navedi njune osnovne lastnosti.

43. Kdaj je realna funkcija realne spremenljivke naraščajoča, padajoča, omejena, neomejena ( lahko razložite na primerih ).

Primer: Omejene pojme razložite na primeru .

VII. KVADRATNA FUNKCIJA , ENAČBA IN NEENČBA

44. Kakšen je graf kvadratne funkcije? Kako vpliva vodilni koeficient na obliko grafa?

Primer: Nariši graf kvadratne funkcije

45. Naštej tri najpogostejše oblike za enačbo kvadratne funkcije in opiši pomen parametrov.. Povej kaj je teme in kako izračunamo njegovi koordinati ?

Primer : Izračunaj koordinati temena kvadratne funkcije f(x) = 2x2 - 5x + 2

46. Kakšne lastnosti ima kvadratna funkcija ? Kakšen je pomen koeficientov ?
Pojasni pojme teme ter sečišča z abscisno in ordinatno osjo.

Primer: Poišči teme in ničli funkcije ter nariši graf.

47. Zapiši temensko obliko kvadratne funkcije .

Primer : Zapiši enačbo kvadratne funkcije, ki ima teme v točki T(2,4) in gre skozi točko A(4,3)

48. Zapiši kvadratno funkcijo v obliki iz katere so razvidne ničle (ničelni obliki) .

Primer : Zapiši kvadratno funkcijo, ki ima ničli x1 = 3 in x2 = 5 ter ima pri x = 1 vrednost 4





49. Zapišite kvadratno enačbo ! Kako jo rešimo in kaj vpliva na rešljivost kvadratne enačbe ?

Primer : 1. Rešite kvadratno enačbo
2. Rešite kvadratno enačbo z obrazcem .

50. Opišite pomen diskriminate kvadratne funkcije .

Primer : V enačbi določite m tako, da imela enačba med seboj enaki rešitvi .

51. Kako določimo presečišče premice in kvadratne parabole ?

Primer : Izračunajte v katerih točkah se sekata premica y=2x - 1 in parabola y = -x2 + 2x +3

52. Kako določimo presečišča kvadratnih parabol ?

Primer : Izračunajte v katerih točkah se sekata paraboli y = -x2 + 1 in y = x2 + 2x - 3

53. Kaj je kvadratna neenačba in kako jo rešujemo ? Kaj je množica rešitev ?

Primer : Rešite kvadratno neenačbo : x2 + x - 6  0

VIII. EKSPONENTNA IN LOGARITEMSKA FUNKCIJA

54. Zapišite funkcijski predpis za eksponentno funkcijo, narišite njen graf ( za osnove 0 a  1, a  1) in naštejte osnovne lastnosti te funkcije v odvisnosti od osnove.

Primer: Narišite graf funkcij

55. Kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešujemo ?
Primer : 1. Rešite enačbe :
2. Rešite enačbe:

56. Definirajte logaritemsko funkcijo z osnovo in narišite njen graf . Določite njeno definicijsko območje in naštejte vse njene lastnosti!

Primer : 1. Narišite graf logaritemske funkcije f(x) = log2x
2. Določite definicijsko območje in ničlo funkcije .

57. Naštejte pravila za računanje z logaritmi !
Primer : 1. Logaritmiraj izraz :
2. Poenostavi izraz:

58. Kaj so logaritemske enačbe in kako jih rešujemo ?

Primer : 1. Rešite enačbo :
2. Rešite enačbo:

59. Zapišite definicijo logaritma in reši enačbo logx64 = 3.




IX. GEOMETRIJA V RAVNINI

60. Definirajte pojem kota in pojasni izraze : krak, vrh, ničelni, pravi, iztegnjeni, polni, ostri in topi kot. Kako merimo kote? Katere kote znamo konstruirati s šestilom in ravnilom ?

Primer: 300= _____ rd, 2,4 rd= ______0, 120015'9 = ______0, 35,650= ___0___'___

61. Definiraj pojme : sosednja kota, sovršna, komplementarna, suplementarna kota.

Primer : 1. Razlika dveh komplementarnih kotov je 12. Katera kota sta to ?
2. V paralelogram ABCD narišite diagonali in poiščite primere opredeljenih pojmov.

62. Kdaj sta premici vzporedni? Katere lastnosti ima vzporednost premic? Povejte aksiom o vzporednost.

Primer: Premice ležijo v isti ravnini. Premica je vzporedna premici , premica pa ima s natanko eno skupno točko. Kakšna je medsebojna lega premic in .

63. Kdaj je trikotnik enakokrak ?

Primer : Ploščina enakokrakega trikotnika mer 40dm2, vc pa 10 dm. Izračunaj dolžini osnovnice c in kraka a.

64. Kdaj je trikotnik enakostraničen ?

Primer: Kolikšna je stranica enakostraničnega trikotnika, če meri višina 6cm ?

65. Kdaj je trikotnik pravokoten ? Zapiši Pitagorov izrek !

Primer : V enakokrakem pravokotnem trikotniku s hipotenuzo c=6cm izračunaj dolžino kraka ?

66. Definirajte središčni in obodni kot v krogu. V kakšni zvezi sta, če ležita nad istim lokom? Kaj veš o kotu v polkrogu?

Primer: Kolikšen je obodni kot, če je središčni 1800.

67. Definiraj kotne funkcije v pravokotnem trikotniku .

Primer : V pravokotnem trikotniku meri kateta a = 6cm in kot  = 36. Izračunaj dolžino hipotenuze.

68. Zapiši Heronov obrazec za ploščino trikotnika.

Primer : Izračunaj ploščino trikotnika, če poznaš a=4cm, b = 10cm in c = 6cm

69. Uporabi sinusni izrek: V trikotniku s podatki a = 6cm, c=9cm, =56 izračunaj kot 

70. Uporabi kosinusni izrek: Izračunaj največji kot v trikotniku : a= 4cm, b=5cm, c=6cm

71. Definiraj paralelogram in naštej nekaj potrebnih in zadostnih pogojev, da je štirikotnik paralelogram. Opiši lastnosti paralelograma. Zapiši obrazce, po katerih lahko izračunamo ploščino paralelograma !

Primer: V paralelogramu merita stranici a= 3 cm in b= 4 cm in oklepata kot 600. Izračunaj ploščino paralelograma.

72. Definiraj romb in naštej njegove lastnosti. Zapiši obrazce, po katerih izračunamo ploščino romba !

Primer: Izračunaj ploščino romba s podatki o= 68 m in e= 16 m.

73. Definiraj trapez in enakokraki trapez ter naštej njune lastnosti ! Kaj je srednjica trapeza?
Kako izračunamo ploščino trapeza ?

Primer: Izračunaj ploščino enakokrakega trapeza, če je a= 21m, b=d= 15m in c= 3m.

74. Definiraj deltoid in naštej njegove lastnosti. Zapiši obrazce, po katerih izračunamo ploščino deltoida !

Primer: V deltoidu merita diagonali e= 2 cm in f= 6 cm. Izračunaj ploščino deltoida.

75. Definirajte pojme krožnica, krog, tetiva, polmer, premer !
Opišite vse medsebojne lege premice in krožnice, ki ležita v ravnini !
Opišite medsebojne lege dveh krožnic v ravnini !


X. GEOMETRIJA V PROSTORU

76. Opišite pokončno prizmo in navedite formuli za površino in prostornino prizme! Kakšne tipe prizem poznamo !

Primer : Pravilna štiristrana prizma ima osnovni rob 8cm in višino 12cm. Izračunaj prostornino.

77. Opišite pokončni valj. Kako izračunamo njegovo površino in prostornino ? Kdaj je valj enakostraničen ?

Primer : Prostornina valja meri 280cm3, višina pa 7cm. Izračunaj površino.

78. Opišite pokončno piramido in navedite formuli za površino in prostornino piramide! Kakšne tipe piramid poznaš !

Primer : Izračunajte površino enakorobe tristrane piramide z osnovnim robom a = 6cm

79. Opišite pokončni stožec.

Primer : Izračunajte prostornino stožca, če merita stranica s = 5cm in polmer r = 3cm.


XI. KOTNE FUNKCIJE

80. Definirajte kotne funkcije na enotski krožnici.

Primer: Rešite enačbi in .

81. Zapišite zveze med kotnimi funkcijami istega kota.

Primer : Izračunaj cos, če je in .

82. Zapiši adicijske izreke za funkciji sinus in kosinus !
Primer : izračunaj , če je

83. S pomočjo adicijskih izrekov izpelji formule za kotne funkcije dvojnih kotov !
Primer : izračunaj sin2, če je

84. Definirajte funkcijo cosx za poljuben kot, narišite njen graf in povejte njene lastnosti ( sodost, lihost, perioda, … ).


85. Definirajte funkcijo sinx za poljuben kot, narišite njen graf in povejte njene lastnosti ( sodost, lihost, perioda, … ) .

XII. POLINOMI IN RACIONALNE FUNKCIJE

86. Definirajte polinom in opredeli naslednje pojme: stopnja polinoma, vodilni koeficient, konstantni člen polinoma . Kdaj sta dva polinoma enaka ?

Primer : Določi stopnjo polinoma, vodilni koeficient in konstantni člen : p(x) = (2x3+3)2

87. Opiši osnovne računske operacije s polinomi .

Primer : Zmnoži polinoma in . Kaj lahko poveš o stopnji produkta dveh polinomov?
88. Opiši Hornerjev algoritem in njegovo uporabnost !

Primer : Poišči ničle polinoma p(x) = x3 + 2x - 3

89 Kaj je ničla polinoma ( enostavna, večkratna) ? Povejte osnovni izrek algebre. Kaj ti pove osnovni izrek algebre o razcepu polinoma ?

Primer : Zapiši polinom 3. stopnje z vodilnim koeficientom 2, z dvojno ničlo v x01 in enojno ničlo x=2.

90. Kakšen je graf polinoma ? Razloži potek risanja grafa polinoma ! Kako se graf polinoma obnaša daleč
od izhodišča in kako v okolici ničel ?

Primer : 1. Nariši graf polinoma
2. Nariši graf polinoma
3. Nariši graf polinoma
4: nariši graf polinoma

91. Definirajte racionalno funkcijo ! Kaj so ničle in poli racionalne funkcije ?
Primer : Določi ničle in pole racionalne funkcije

92. Definiraj racionalno funkcijo ! Kaj so ničle in poli racionalne funkcije ?
Primer : 1. Nariši graf racionalne funkcije
2. Nariši graf racionalne funkcije
3. Nariši graf racionalne funkcije

93. Kaj so racionalne enačbe in kako jih rešujemo ?

Primer : 1. Reši enačbo :
2. Reši enačbo:

XIII. ZAPOREDJA

94. Kaj je zaporedje ? Kdaj narašča (pada), kdaj je omejeno ?

Primer : Dano je zaporedje s splošnim členom an = . Izračunaj prvi pet členov zaporedja in določi njegove lastnosti ?

95. Kdaj je zaporedje aritmetično?. Kako se izraža n-ti člen zaporedja s prvim členom in diferenco ?

Primer : 1. Poišči dvajseti člen zaporedja 25,21,17,...
2. Izračunaj dvajseti člen aritmetičnega zaporedja, če je prvi člen 4 in diferenca 2.
3. V aritmetičnem zaporedju je prvi člen -16, sedmi pa 8. izračunaj diferneco.

96. Kako ugotovimo, ali dani členi predstavljajo aritmetično zaporedje ?

Primer : Za kateri x je zaporedje aritmetično : x, x+5, x+15

97. Zapiši formulo za vsoto n členov aritmetičnega zaporedja.

Primer: Izračunaj vsoto 15 členov aritmetičnega zaporedja, če je prvi člen 8 in razlika 3.
98. Kdaj je zaporedje geometrijsko? Kako se izraža n-ti člen zaporedja s prvim členom in diferenco ?

Primer : 1. Določi x tako, da bodo zaporedni členi geometrijskega zaporedja
2. Določi prvi čelen in količnik geometrijskega zaporedja, če je drugi člen 1 in četrti .
3. Izračunaj prvi člen geometrijskega zaporedja, če je šesti člen 1504 in količnik 2.
4. Zapiši deseti člen geometrijskega zaporedja 2,6,18,54, …

99. Kako ugotovimo, ali dani členi predstavljajo geometrijsko zaporedje ?

Primer : Za kateri x je zaporedje geometrijsko : x+1, 2x, 3x

100. Zapiši formulo za izračun vsote prvih n členov geometrijskega zaporedja !

Primer: 1. Izračunaj vsoto prvih desetih členov geometrijskega zaporedja s splošnim členom .
2. Seštej: 4 + 12 + 36 + … + 2916.

100. Zapiši in razloži osnovne pojme in obrazce obrestno obrestovalnega računa !

Primer : Kolikšno letno obrestno mero ponuja banka, če se glavnica podvoji po 8 letih,kadar :
a) banka navadno obrestuje kapital
b) banka obrestnoobrestno obrestuje kapital






Izpitni cilji preverjajo :

- branje matematičnega teksta,
- uporabo matematične terminologije in simbolike
- sistematičnost, natančnost, samostojnost, urejenost,
- oceno in presojo dobljenega rezultata
- uporabo matematike kot jezika komunikacije


Vrednotenje in ocenjevanje

Pisni del izpita pomeni 70% ocene izpita, ustni del pa 30%

Vrednotenje ustnega izpita

ŠTEVILO VSEH MOŽNIH TOČK ................................30 TOČK

1.VPRAŠANJE IN PRIMER ...............10 TOČK

2. VPRAŠANJE IN PRIMER ...............10 TOČK

3. VPRAŠANJE IN PRIMER ...............10 TOČK



Posamezno vprašanje



• točka
• točka POZNAVANJE POJMOV IN RAZUMEVANJE VPRAŠANJA
• točka
• točka

• točka PRAVILNOST, NATANČNOST IN SAMOSTOJNOST TEOR.ODGOVORA
• točka

• točka PRAVILNOST, SISTEM. IN SAMOSTOJNOST REŠEVANJA PRIMERA
• točka

• točka SPOSOBNOST PRAVILNE INTERPRETACIJE IN POVEZOVANJA ZNANJA
• točka







PRIPRAVILA : EDA BAJRAMOVIĆ